Destaca desde temprana edad por la recomendación de Mstislav Rostropovich, Damián Martínez ha sido reconocido por la crítica por su “sensibilidad expresiva” y su “exquisito sonido”.
Ha sido galardonado en concursos internacional en Francia, España y Portugal.
Como solista, ha actuado bajo la batuta de Krzysztof Penderecki, Lawrence Foster, Lorenzo Viotti, Theodor Guschlbauer, Anne Manson, David Harutyunyan, Peter Rundel, Pedro Halffter, Antoni Ros Marbà, Enrique García Asensio, Gloria Isabel Ramos, Frank Beermann, Tomás Garrido, Juan José Olives, Josep Vicent, Vasily Petrenko, Marzio Conti, Nuno Coelho, Izabelė Jankauskaitė y Nurhan Arman. 
Ha realizado giras por Europa, América, Asia y África, visitando países como Francia, Alemania, Italia, Inglaterra, Finlandia, Suecia, Marruecos, Lituania, Estonia, Japón, Colombia, Ecuador, Argentina, Túnez, Egipto, Jordania, Israel, Canadá, Japón, Pakistán, Corea del Sur, China.
Como artista en exclusiva de Warner Classics ha publicado junto a la Orquesta de Barcelona OBC “Spirit of Casals —un homenaje a Pau Casals que incluye la primera grabación mundial del poema sinfónico Nocturnos Portugueses de Gaspar Cassadó y el concierto para violonchelo y orquesta de Alexander Glazunov—,  “Essential Saint-Saëns”, “Rojo” “Hypnotik” y “Rapsodia del Sur”. 
Ha colaborado también con las discográficas ASV, Claves, Naxos, y participado en producciones para TVE y TV3, RTVE, así como con la “Association Française du Violoncelle”
Comprometido con la música contemporánea, el compositor Salvador Brotons le dedicó la Sonata para Cello Solo, estrenada en Lisboa, y el maestro Tomás Marco compuso para él la sonata Sibilas frente al espejo, presentada con gran éxito en Madrid. Su compromiso social le ha llevado a realizar conciertos para el Congreso Mundial del Sida, a favor de los niños en Colombia, para las Víctimas del Terremoto en Chile en Canadá y para las Víctimas del Terrorismo en España.
Fue primer violonchelo de la Orquesta de la Radio Televisión Española (ORTVE), y entre 2001 y 2005 desempeñó ese mismo cargo en la Orquesta Sinfónica de Barcelona (OBC).
Es profesor titular de violonchelo en la Escuela Superior de Música de Cataluña (ESMUC) en Barcelona y en el Centro Superior de Música del País Vasco (MUSIKENE) en San Sebastián.
Formado en la Guildhall School of Music de Londres, Indiana University School of Music (EE.UU.) y Musikhochschule Stuttgart, estudió con Janos Starker, Natalia Gutman, María de Macedo y Aldo Parisot, con el apoyo de instituciones como Juventudes Musicales de Madrid, Fundación Pau Casals, Fundación Ritz, Indiana University, Banff Centre of Arts (Canadá) y Yale University.
Damián forma parte del aclamado Dúo Cassadó, reconocido internacionalmente por su exquisita musicalidad, sensibilidad y carisma. Artista exclusivo de Warner Classics, el dúo ha actuado en prestigiosos auditorios y festivales de todo el mundo, realizando giras por Israel, Canadá, Colombia, Ecuador, Argentina, Marruecos, Túnez, Egipto, Jordania, Pakistán, China, Corea del Sur y Japón. Su disco Rapsodia del Sur fue galardonado con el “Melómano de Oro” y seleccionado entre los mejores discos del año. En ROJO, considerado una grabación de referencia por la prensa internacional, realizaron la primera grabación mundial de la Fantasía Española de Ernesto Halffter. Hypnotik, su más reciente trabajo, es un disco conceptual con gran proyección internacional. Comprometidos con la creación actual, han estrenado obras como Sibilas frente al espejo de Tomás Marco, Páginas de Arena de Laura Vega y Del Aire que me das de Marina Ortega, estrenada en el Palau de la Música Catalana. Recientemente presentaron Hechizo y Duende, un homenaje a Federico García Lorca y próximamente estrenarán Esencia de los Elementos, un proyecto que fusiona música y arte audiovisual.

Toca un David Tecchler hecho en Roma en 1730.